सामान्य तीन पत्ती में तीन पत्ते मिलने पर पेयर की संभावना लगभग 16.94%, ट्रेल की लगभग 0.235% और प्योर सीक्वेंस की लगभग 0.217% है। ये किसी हैंड श्रेणी के मिलने की संभावनाएँ हैं, राउंड जीतने की नहीं।
नीचे की तालिका 52 पत्तों की गड्डी से बनने वाले हर तीन-पत्तों के संयोजन की गणना पर आधारित है। श्रेणियाँ एक-दूसरे से अलग हैं: प्योर सीक्वेंस को दोबारा कलर या सामान्य सीक्वेंस में नहीं गिना गया है। इससे खेल को समझने में मदद मिलती है, लेकिन इसे दाँव लगाने की प्रणाली नहीं माना जा सकता।
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छह श्रेणियों की संभावना एक नज़र में
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| हैंड श्रेणी | हैंड की संख्या | संभावना | लगभग कितने हैंड में एक |
|---|---|---|---|
| ट्रेल / एक रैंक के तीन पत्ते | 52 | 0.235294% | 425 हैंड |
| प्योर सीक्वेंस / स्ट्रेट फ्लश | 48 | 0.217195% | 460.4 हैंड |
| सीक्वेंस / स्ट्रेट, प्योर सीक्वेंस को छोड़कर | 720 | 3.257919% | 30.7 हैंड |
| कलर / फ्लश, प्योर सीक्वेंस को छोड़कर | 1,096 | 4.959276% | 20.2 हैंड |
| पेयर | 3,744 | 16.941176% | 5.9 हैंड |
| हाई कार्ड | 16,440 | 74.389140% | 1.34 हैंड |
| कुल | 22,100 | 100% | — |
“लगभग कितने हैंड में एक” संभावना का व्युत्क्रम है, जिसे पढ़ने में आसानी के लिए राउंड किया गया है। यह लंबे समय की आवृत्ति है, तय क्रम नहीं। कई डील तक पेयर न मिलने से अगली स्वतंत्र, नई तरह से शफ़ल की गई डील में पेयर मिलना ज़रूरी नहीं हो जाता।
तालिका सामान्य तीन पत्ती रैंकिंग के क्रम में है। इस मॉडल में प्योर सीक्वेंस, ट्रेल से थोड़ा दुर्लभ है, फिर भी ट्रेल ऊँचा रैंक करता है। खेल के रैंकिंग नियमों का श्रेणी की सटीक दुर्लभता के अनुसार होना ज़रूरी नहीं है।
इस गणना की मान्यताएँ
हर डील में ठीक तरह से शफ़ल की गई सामान्य 52-पत्तों की गड्डी से तीन अलग पत्ते मिलते हैं। कोई जोकर या वाइल्ड कार्ड नहीं है। गणना में चारों सूट बराबर माने गए हैं। वही तीन पत्ते किसी दूसरे क्रम में मिलने से नया हैंड नहीं बनता।
12 रैंक क्रम स्वीकार किए गए हैं: A-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6, 5-6-7, 6-7-8, 7-8-9, 8-9-10, 9-10-J, 10-J-Q, J-Q-K और Q-K-A। K-A-2 मान्य नहीं है। A23 और AKQ में कौन ऊँचा है, यह बदलने से संख्या नहीं बदलती, बशर्ते दोनों मान्य हों। किसी एक क्रम को अमान्य करने वाला हाउस रूल तालिका बदल देगा।
जोकर तीन पत्ती, AK47 और दूसरे वाइल्ड-कार्ड वैरिएशन के लिए अलग गणना चाहिए। कौन-से पत्ते जोकर हैं या विजेता हैंड कैसे बनता है, यह बदलने के बाद इन आँकड़ों का उपयोग न करें।
22,100 हैंड की गिनती कैसे होती है?
क्रम की परवाह किए बिना 52 में से तीन पत्ते चुनें: C(52,3) = 52 × 51 × 50 ÷ 6 = 22,100। किसी श्रेणी की संख्या को 22,100 से भाग देने पर उसकी संभावना मिलती है।
ट्रेल और प्योर सीक्वेंस
ट्रेल में एक रैंक और उसके चार में से तीन सूट होते हैं: 13 × C(4,3) = 52। प्योर सीक्वेंस में 12 स्वीकृत रैंक क्रमों में से एक और एक ही सूट होता है: 12 × 4 = 48।
सामान्य सीक्वेंस और कलर
हर स्वीकृत क्रम की तीनों रैंक में से प्रत्येक के लिए चार सूट हो सकते हैं। इससे प्योर सीक्वेंस सहित 12 × 4³ = 768 सीक्वेंस बनते हैं। 48 प्योर सीक्वेंस हटाने पर 720 सामान्य सीक्वेंस बचते हैं।
कलर के लिए पहले एक सूट और फिर उसकी 13 रैंक में से तीन चुनें: 4 × C(13,3) = 1,144। इसमें से 48 प्योर सीक्वेंस हटाने पर 1,096 कलर बचते हैं। यह घटाव एक ही सूट के क्रम को दो पंक्तियों में गिनने से रोकता है।
पेयर और हाई कार्ड
पेयर की रैंक, उसके दो सूट और दूसरी रैंक का तीसरा पत्ता चुनें: 13 × C(4,2) × 12 × 4 = 3,744। तीसरे पत्ते की रैंक अलग रखने से ट्रेल, पेयर श्रेणी में शामिल नहीं होता।
बचे हुए हैंड हाई कार्ड हैं: 22,100 − 52 − 48 − 720 − 1,096 − 3,744 = 16,440। जाँच के लिए छहों संख्याओं का योग 22,100 होना चाहिए।
उदाहरण: पूरी श्रेणी और एक खास हैंड में अंतर
तीन नामित पत्तों का एक निश्चित समूह 22,100 संभव हैंड में से केवल एक है। एक श्रेणी ऐसे कई समूहों को मिलाती है। दोनों में भ्रम होने से कोई खास हैंड, दूसरे उतने ही खास हैंड से अधिक असामान्य लग सकता है।
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| सवाल | संख्या | गणना |
|---|---|---|
| कोई भी ट्रेल | 52 | 52 ÷ 22,100 = 0.235294% |
| इक्कों का कोई भी ट्रेल | 4 | 4 ÷ 22,100 = 0.018100% |
| ठीक A♠ A♥ A♦ | 1 | 1 ÷ 22,100 = 0.004525% |
| ठीक A♠ 7♥ 3♦ | 1 | 1 ÷ 22,100 = 0.004525% |
| इक्कों का पेयर और तीसरा पत्ता इक्का नहीं | 288 | 6 × 48 ÷ 22,100 = 1.303167% |
डील से पहले दोनों निश्चित हैंड की संभावना समान है। डील के बाद उनकी ताकत बहुत अलग है। संभावना और हैंड रैंकिंग अलग सवालों के जवाब देते हैं।
ये आपकी जीतने की संभावनाएँ क्यों नहीं हैं?
आपके 16.94% हैंड में पेयर आने का मतलब यह नहीं कि पेयर 16.94% राउंड जीतता है। जीत दूसरे खिलाड़ियों के पत्तों, बचे हुए खिलाड़ियों की संख्या, नियमों और उपलब्ध जानकारी पर निर्भर करती है। एक डील में दूसरे खिलाड़ियों को उसी गड्डी से पत्ते मिलते हैं, इसलिए उनके हैंड आपके हैंड से स्वतंत्र नहीं हैं।
लगातार कमज़ोर हैंड मिलना भी अगली डील में भरपाई होने का प्रमाण नहीं है। हर बार नए शफ़ल के साथ 100 स्वतंत्र डील में कम-से-कम एक ट्रेल मिलने की संभावना 1 − (424/425)¹⁰⁰, यानी लगभग 20.99% है। यह संख्या भी नहीं बताती कि वे हैंड जीतेंगे या लाभ देंगे।
हैंड पहचानने के लिए इस पेज के साथ तीन पत्ती सीक्वेंस सूची पढ़ें। एक ही श्रेणी के हैंड की तुलना के लिए बराबरी के नियम देखें। हैंड की आवृत्ति या ऊँची श्रेणी किसी आर्थिक परिणाम की गारंटी नहीं देती।
तालिका की जाँच कैसे की गई?
हमने तीन पत्तों के सभी बिना-क्रम वाले संयोजन गिने। पहले ट्रेल, फिर प्योर सीक्वेंस, सीक्वेंस, कलर, पेयर और हाई कार्ड जाँचे, तथा हर हैंड को केवल एक श्रेणी दी। प्राप्त संख्याएँ ऊपर दिए स्वतंत्र सूत्रों से मेल खाती हैं।
गणना हमारी अपनी है; नीचे का नियम-संदर्भ सामान्य गड्डी और हैंड श्रेणियों का आधार देता है। तालिका को उसकी मान्यताओं के साथ पढ़ें, किसी अलग सेटिंग वाले ऐप या वाइल्ड-कार्ड टेबल पर सीधे लागू न करें।